Morris 遍历

1. 二叉树遍历

树是最重要的数据结构之一,而树的遍历是树最基本的操作。

二叉树的遍历一般来说有三种遍历次序:

  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历

而这三种遍历次序都可以采用递归非递归的方式来完成。

就时间、空间的复杂度来讲,因为非递归需要借助额外的Stack来完成操作,所以递归和非递归的时间复杂度都是O(n)O(logn)

那么有没有另外的不同的二叉树遍历方法,在时间或空间能做到更优的呢?答案是:Morris 遍历

由于在遍历的时候,我们需要记住某种遍历次序的的后驱或者前驱结点,常见的递归和非递归都是采用的方式完成这个过程,有没有内部空间来记录这些后驱或者前驱结点呢?有,那就是叶结点的左,右孩子结点,因为叶结点的两个孩子结点都是空指针,如果利用好这些空间,我们就可以在O(1) 的空间完成遍历。

利用叶结点的左、右孩子指向遍历的前驱或者后驱结点,这些指针叫做线索,对应的二叉树叫做线索二叉树

Morris遍历是使用线索二叉树进行中序遍历的一种实现,其可以在O(n)的时间,O(1)的空间完成遍历, 对其稍加修改可以推广到先序、后序遍历,其遍历过程包含三个部分:

  1. 创建指向中序后驱结点的线索;
  2. 遍历输出结点;
  3. 删除线索,恢复树的结构;

2. Morris 中序遍历

Morris 中序遍历过程如下:

  1. 当前结点的左孩子是否为空,若是则输出当前结点,更当前结点为当前结点的右孩子;否则进入2;

  2. 在当前结点的左子树中寻找中序遍历下的前驱结点(左子树中最右结点)

    a. 若前驱结点的右孩子为空,则将前驱结点的右孩子指向当前结点,当前结点更新为当前结点的左孩子;进入3;

    b. 若前驱结点的右孩子为当前结点(不为空),将前驱结点的右孩子置NULL,输出当前结点,当前结点更新为当前结点的右孩子,进入3;

  3. 若当前结点不为空,进入1;否则程序结束;

伪代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cur = root
repeat until cur != NULL:
if cur.left != NULL:
pre = cur.left;
while pre.right == NULL && pre.right != cur://找到前驱结点pre
pre = pre.right
if pre.right == NULL:
pre.right = cur
cur = cur.left
else:
print(cur)
pre.right = NULL
cur = cur.right
else:
print(cur)
cur = cur.right

下图为每一步迭代的结果(从左至右,从上到下),cur代表当前节点,深色节点表示该节点已输出。

以下为Java的实现:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
public static void inOrder(TreeNode root) {
TreeNode cur = root, pre = null;
for (; cur != null;) {
if (cur.left != null) {
pre = cur.left;
// find predecessor
while (pre.right != null && pre.right != cur)
pre = pre.right;
if (pre.right == null) {// create thread
pre.right = cur;
cur = cur.left;
} else {
print(cur);
pre.right = null;
cur = cur.right;
}
} else {
print(cur);
cur = cur.right;
}
}
}

3. Morris 前序遍历

对于前序遍历,只需要在中序遍历的基础上稍加修改便可以完成。

Morris 前序遍历的流程如下:

  1. 当前结点的左孩子是否为空,若是则输出当前结点,并更新当前结点为当前结点的右孩子;否则进入2;

  2. 在当前结点的左子树中寻找中序遍历下的前驱结点(左子树中最右结点)

    a. 若前驱结点的右孩子为空,则将前驱结点的右孩子指向当前结点,输出当前结点(在这里输出,和中序遍历不同的地方),当前结点更新为当前结点的左孩子;进入3;

    b. 若前驱结点的右孩子为当前结点(不为空),将前驱结点的右孩子置NULL,当前结点更新为当前结点的右孩子,进入3;

  3. 若当前结点不为空,进入1;否则程序结束;

伪代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cur = root;
repeat until cur != NULL:
if cur.left != NULL:
pre = cur.left;
while pre.right == NULL && pre.right != cur://找到前驱结点pre
pre = pre.right
if pre.right == NULL:
pre.right = cur
print(cur)//此处和中序遍历不同
cur = cur.left
else:
pre.right = NULL
cur = cur.right
else:
print(cur)
cur = cur.right

下图为每一步迭代的结果(从左至右,从上到下),cur代表当前节点,深色节点表示该节点已输出。

以下为Java的实现:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
public static void preOrder(TreeNode root) {
TreeNode cur = root, pre = null;
for (;cur != null;) {
if (cur.left != null) {
pre = cur.left;
// find predecessor
while (pre.right != null && pre.right != cur)
pre = pre.right;
if (pre.right == null) {// create thread
print(cur);// print node here
pre.right = cur;
cur = cur.left;
} else {
pre.right = null;//delete thread
cur = cur.right;
}
} else {
print(cur);
cur = cur.right;
}
}
}

4. Morris 后序遍历

后序遍历的流程如下:

  1. 新建一个Dummy结点,该结点的左孩子指向树根root,将Dummy作为当前结点;

  2. 当前结点的左孩子是否为空,更新当前结点为当前结点的右孩子;否则进入2;

  3. 在当前结点的左子树中寻找中序遍历下的前驱结点(左子树中最右结点):

    a. 若前驱结点的右孩子为空,则将前驱结点的右孩子指向当前结点,当前结点更新为当前结点的左孩子,进入3;

    b. 若前驱结点的右孩子为当前结点(不为空),反转当前结点到前驱结点之间的路径,输出该路径所有结点;反转当前结点到前驱结点之间的路径,恢复原状。将前驱结点的右孩子置NULL,当前结点更新为当前结点的右孩子,进入3;

  4. 若当前结点不为空,进入1;否则程序结束;

伪代码如下:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
dummy = Node(-1)
dummy.left = root
cur = dummy
repeat until cur != NULL:
if cur.left != NULL:
pre = cur.left;
while pre.right == NULL && pre.right != cur://找到前驱结点pre
pre = pre.right
if pre.right == NULL:
pre.right = cur
cur = cur.left
else:
reverse(cur.left, pre)
print(pre, cur.left)
reverse(pre, cur.left)//再次反转,恢复原状
pre.right = NULL
cur = cur.right
else:
cur = cur.right

下图为每一步迭代的结果(从左至右,从上到下),cur代表当前节点,深色节点表示该节点已输出。

以下为Java的实现:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
public static void postOrder(TreeNode root) {
// TODO Auto-generated method stub
TreeNode dummy = new TreeNode(-1);
dummy.left = root;
TreeNode cur = dummy, pre = null;
for (;cur != null;) {
if (cur.left != null) {
pre = cur.left;
// find predecessor
while (pre.right != null && pre.right != cur)
pre = pre.right;
if (pre.right == null) {// create thread
pre.right = cur;
cur = cur.left;
} else {//print here
reverse(cur.left, pre);
print(pre, cur.left);
reverse(pre, cur.left);
pre.right = null;
cur = cur.right;
}

} else {
cur = cur.right;
}
}
}

private static void print(TreeNode from, TreeNode to) {
// TODO Auto-generated method stub
for (;;from = from.right) {
print(from);
if (from == to) break;
}
}

private static void reverse(TreeNode from, TreeNode to) {
// TODO Auto-generated method stub
if (from == to) return;
TreeNode x = from, y = from.right, z= null;
x.right = null;
for (;;) {
z = y.right;
y.right = x;
x = y;
if (y == to) break;
y = z;
}
}

完整的代码:详见

https://github.com/Spground/archive/blob/master/misc/code/MorrisTraversalDemo.java

5. References

  1. http://www.cnblogs.com/AnnieKim/archive/2013/06/15/MorrisTraversal.html
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Morris_in-order_traversal_using_threading
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Threaded_binary_tree#The_array_of_Inorder_traversal